Una mente maravillosa, el equilibrio de Nash y el asesinato de Kitty Genovese

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Es fácil encontrar películas de policías, de médicos, de hombres de negocios, de mafiosos, de cocineros, de astronautas, de abogados, de pintores, de arqueólogos, de deportistas, de políticos… Profesiones que, de forma más o menos exagerada, presentan un contexto lo suficientemente excitante y entretenido como para contar historias sobre ello. De matemáticos, sin embargo, es mucho más complicado encontrar algo. Puedes verlos a veces como secundarios: el típico nerd raro pero inteligente que es necesario para desbloquear algún código, por no hablar de los economistas. Pero no suelen ser lo primero en que piensan los cineastas cuando quieren hacer una película o serie interesante.

Genovese 3

Una excepción es Una mente maravillosa. La película repasa la vida del matemático John Forbes Nash interpretado por Russel Crowe. La cinta narra su vida desde su ingreso en Princeton, donde logra ingresar con una carta de recomendación de una sola frase: «This man is a genius». El film refleja correctamente que Nash no solía leer libros ni ir a clase: quería aprenderlo todo por su cuenta. Obsesionado con la originalidad y pagado de sí mismo, Nash produjo varios trabajos que tuvo que descartar al descubrir que otros autores habían presentado obras similares con anterioridad. Finalmente dio con su idea en el campo de la teoría de juegos con un nuevo concepto llamado «el equilibrio de Nash». Un trabajo de solo quince páginas que le valdría el Premio Nobel de economía en 1994.

Una mente maravillosa es una gran película, aunque, en realidad, su foco no apunta a las matemáticas o la economía. Trata la vida de Nash, su genialidad y su lucha para sobrellevar su enfermedad. Tras su trabajo en el MIT y su matrimonio con su alumna Alice Nash, a John le diagnosticaron esquizofrenia. Fue entonces cuando empezó la lucha que la película refleja. Sin embargo, entre el drama encontramos pequeñas escenas que sí tratan sobre economía. Y lo hacen tratándola de un modo excitante y emocionante. Resulta especial, en este sentido, la secuencia que gira en torno al concepto que le dio el Nobel:

Nash está tomando una cerveza en un bar con sus tres amigos de Princeton cuando cinco chicas entran por la puerta. A pesar de que las tres chicas morenas resultan atractivas, todos se fijan automáticamente en la rubia del grupo. Mientras la miran embobados, discuten la estrategia para abordarlas. Y deciden hacerlo basándose en la economía:

«Recordad las lecciones de Adam Smith, el padre de la economía moderna: en competencia, la ambición individual sirve el bien común».

Se refieren a las enseñanzas de Adam Smith sobre el mercado: como los individuos, actuando por su propia cuenta y bajo sus intereses, de forma agregada, producen el resultado de mercado, este es finalmente eficiente a pesar de que ninguno de los individuos que lo forman busca ese fin. Es la «mano invisible» del mercado, que surge de forma automática.

Por tanto, nuestros amigos matemáticos deciden racionalmente no establecer una estrategia común, sino ir cada uno por su cuenta en busca de la chica que deseen. Aquellos que sean rechazados deberán quedarse con sus amigas.

Entonces, Nash se queda pensativo y da forma a su gran idea: la solución de Nash. Tras ello, la aplica inmediatamente ofreciéndoles a sus amigos una estrategia de ligue más eficiente:

«Adam Smith se equivocaba. Si vamos todos a por la rubia, nos bloqueamos unos a otros y ninguno se la lleva. Así que vamos a por las amigas y nos ignorarán, porque a nadie le gusta ser el segundo plato. Pero ¿qué pasaría si nadie va a por la rubia? No nos bloqueamos y no ofendemos a las otras chicas. Victoria asegurada, y todos echaríamos un casquete. Adam Smith dijo que el mejor resultado se obtiene cuando todos los del grupo hacen lo mejor para sí mismos, ¿verdad? Incompleto. (…) Adam Smith se equivocaba».

Genovese 4La escena es muy inspiradora y, sin embargo, tiene un problema. La película tiene algunas inexactitudes: por ejemplo, Nash no trabajó para el Pentágono sino para la RAND (Research and Development Corporation); las alucinaciones que sufría no eran de ese tipo, ni empezaron hasta que se casó; también se omite su divorcio de Alice Nash. A pesar de ello, las licencias que la película se toma son entendibles, ya que le proporcionan una estructura más fílmica. Desgraciadamente, comete un último error: la solución que ofrece la película para la escena con las chicas en el bar que le daría a Nash su triunfo y un Premio Nobel, no representa un verdadero equilibrio de Nash. Es incorrecto. Y no me gusta pensar que la gran idea de Nash se altere para hacer una película más emocionante: la teoría de juegos y el equilibrio de Nash son suficientemente emocionantes. Demostrémoslo.

El equilibrio de Nash representa una situación estable, donde todos hacen lo mejor para ellos mismos dado lo que ha hecho el resto. Es decir, si dando por hecho lo que hicieron los demás, tú puedes mejorar tu situación cambiando tu comportamiento, no estamos en un equilibrio de Nash. En la solución que proponen en la película, los cuatro amigos se aproximan a las cuatro morenas dejando sola a la chica rubia. Eso no es un equilibrio de Nash: cualquiera de ellos, de forma unilateral y sabiendo lo que van a hacer los otros, podría traicionar el plan y acercarse a la rubia, que está sola. En definitiva, acercarse a la mujer morena que les resulta menos atractiva no sería el mejor plan.

Sin embargo, si todos pensaran lo mismo, todos irían hacia la chica rubia, entorpeciéndose y fracasando totalmente. Eso tampoco es equilibrio de Nash, porque uno de ellos podría haberse decantado por una morena y así, al menos, no se habría quedado solo. En este escenario todos los demás también se arrepentirían de la decisión tomada, de tal modo que se demuestra que no es lo mejor que podían haber hecho.

He aquí la importancia del concepto de equilibrio de Nash: ¿qué solución a esa situación sería realmente estable, propiciando que ninguno de los chicos se arrepintiera de su decisión? ¿Cómo ligarían los chicos de Princeton?

Vamos a encarar el problema desde una perspectiva de teoría de juegos real, tal y como el verdadero John Nash la plantearía. Aunque es riguroso y escribiremos las fórmulas de las que se extraen las conclusiones, lo explicaremos de forma sencilla. El equilibrio será algo llamado «equilibrio en estrategias mixtas». Como hemos visto, los chicos no deberían ir directamente todos hacia las chicas morenas, ni todos directamente hacia la rubia. Lo que harían sería ir a por unas o a por otras con cierta probabilidad, dependiendo de varios factores como cuántos chicos hay en la discoteca haciéndoles la competencia y cuál es realmente la diferencia de belleza entre la rubia y las morenas.

Llamaremos n al número de chicos que quiere ligar. En la película, por ejemplo, era n=4

n\rightarrow número de chicos

Luego tenemos que hablar acerca de la utilidad para los chicos, su «beneficio». Está claro que obtendrán 0 si no consiguen ligar. Y en la película los chicos prefieren ligarse a la rubia más que a una morena, así que definiremos la utilidad de ligar con una morena como b y la utilidad de ligarse a una rubia como a, siendo esta última mayor.

U_{R}=a

U_{M}=b

b<a

La probabilidad de ligarte a una morena si vas directamente hacia ella es 1. En este supuesto es algo seguro, porque hay el mismo número de morenas que de chicos. Sin embargo, rubia solo hay una en toda la sala. Llamaremos p a la probabilidad que asignaremos a arriesgarnos a acercarnos a la rubia.

p\rightarrow probabilidad de ligar con la rubia

Si intentamos ir a por la rubia podemos conseguirlo y obtener a si somos los únicos que la abordan. O no conseguirlo por obstaculizarnos con otros obteniendo 0 (recordando que no conseguiremos una morena porque no les gusta ser segundo plato). En definitiva, si vamos a por la rubia obtendremos estos posibles resultados:

a - \textup {con probabilidad}\rightarrow (1-p)\cdot (1-p)...\cdot (1-p)=(1-p)^{(n-1)}

0 - \textup {con probabilidad}\rightarrow 1-(1-p)^{n-1})

De esta forma, si fuéramos los únicos en el bar, (n=1):

(1-p)^{(1-1)}=1

Abordaríamos a la rubia con una probabilidad de éxito del 100%. Dado que no tenemos competencia conseguiremos ligar con ella y obtener a .

Si hubiera más chicos en la sala, entonces ya depende de a y b, es decir, de cuánto más atractiva es la rubia comparada con las demás. Calculemos matemáticamente la mejor respuesta. Los chicos maximizarán su propia utilidad esperada:

U_{E}=a\cdot (1-p)^{n-1}+0\cdot [1-(1-p)^{n-1}]=a\cdot (1-p)^{n-1}

a\cdot (1-p)^{n-1}=b

(1-p)^{n-1}=\frac{b}{a}

1-p=(\frac{b}{a})^{\frac{1}{n-1}}

p=1-(\frac{b}{a})^{\frac{1}{n-1}}

Una vez calculado, imaginemos por ejemplo que la rubia es el doble de atractiva que las morenas:

b=(\frac{1}{2})a

\frac{b}{a}=\frac{1}{2}

Si lo sustituimos en nuestra formula obtendremos:

n=2\rightarrow p=0.5

n=3\rightarrow p=0.29

n=4\rightarrow p=0.21

n=5\rightarrow p=0.16

n=6\rightarrow p=0.13

Si estamos solos en el bar ya hemos dicho que decidiríamos acercarnos a la rubia de forma segura. Si hay dos, lo haríamos con un 50% de probabilidad, si hay 3 con un 29%, etc.

El resultado tiene sentido. Si hay pocos chicos en la discoteca es más probable que tomes el riesgo de intentar ligar con la atractiva chica rubia porque es más fácil que no tengas competencia. Sin embargo, si hay un montón de chicos pululando será mucho más difícil que la rubia te haga caso porque habrá más competencia. Por tanto, en este supuesto, sería mejor dedicar la atención a las morenas asegurando el éxito. Este es el análisis de la situación que el verdadero Nash haría.

Pero este pequeño juego esconde aún más cosas interesantes. Pongámonos esta vez en la piel de la chica rubia que acude al bar. Esa chica conseguirá ligar con probabilidad:

n\cdot p

Es decir, el total de chicos que haya en la sala multiplicado por la probabilidad de que cada uno se le acerque. Veamos que ocurre con sus probabilidades de ligar esa noche dependiendo de cuántos chicos haya:

n=2\rightarrow p=0.5\rightarrow 1

n=3\rightarrow p=0.29\rightarrow 0.87

n=4\rightarrow p=0.21\rightarrow 0.84

n=5\rightarrow p=0.16\rightarrow 0.80

n=6\rightarrow p=0.5\rightarrow 0.78

Cuantos más chicos haya en el bar, menos probabilidades tiene la rubia de ligar con alguno de ellos. Esto ocurre porque todos los chicos están pensando que otro va a ir a por ella y prefieren asegurar con una morena.

Este efecto es algo más contraintuitivo. Resulta extraño que cuantos más potenciales pretendientes, menos posibilidades de ligar tenga la fémina más atractiva del bar. Sin embargo, este efecto puede darse en ocasiones en la vida real. Imagínese una comunidad de vecinos donde se estropea el ascensor. Si solo estuviera viviendo una persona en esa comunidad, es 100% seguro que se llamaría al servicio de reparaciones. Sabemos incluso que sería esa única persona quien avisaría. Como es el único vecino, sabe que si no llama él, no llama nadie, y no tiene más remedio que molestarse en hacerlo él personalmente. Ahora bien, esto cambia cuantos más vecinos hay: si hay multitud de personas viviendo en esa comunidad, esa obligación se irá difuminando porque sería razonable pensar que otra persona va a llamar. Lo normal sería que alguien lo hiciera, pero como cada uno ya no llama con probabilidad 100%, podría darse el caso de que todos crean que otro lo hará y al final nadie lo haga.

Genovese 1

Este efecto es conocido como el efecto espectador o síndrome Genovese. Este efecto muestra cómo la probabilidad de ayudar en una situación es inversamente proporcional al número de espectadores de la situación. Su nombre e investigación viene originado por el terrible asesinato de Kitty Genovese en 1964. Kitty Genovese era una joven de 28 años, italoamericana y gerente de un bar. Vivía en el barrio de Queens en Nueva York. Un día a la vuelta del trabajo aparcó su coche a escasos metros de su apartamento y Winston Moseley, un necrófilo que buscaba simplemente una víctima a la que matar, la apuñaló por la espalda.

Kitty Genovese logró pedir ayuda gritando que estaba siendo apuñalada. Muchos vecinos la oyeron, aunque solo algunos de ellos reconocieron los gritos como una petición de ayuda. Uno de ellos llegó a gritar al atacante que dejara en paz a la chica. Moseley huyó y Genovese pudo desplazarse seriamente herida hasta la entrada de su apartamento, más allá de la vista de los vecinos. Hubo alguna llamada a la policía, aunque poco clara y fue considerada de baja prioridad. Alguno dijo que habían golpeado a una chica y esta se había ido tambaleándose.

Moseley se fue en su coche, aunque regresó diez minutos después. Buscó a Genovese y la encontró tirada y apenas consciente. Continuó apuñalándola y finalmente robó sus pertenencias y la violó. Toda la escena se sucedió durante aproximadamente media hora. Moseley huyó y Genovese fue finalmente trasladada en ambulancia tras la llamada de un testigo. Murió de camino al hospital. Moseley fue detenido días después del ataque y a día de hoy sigue en prisión. Las investigaciones revelaron que unas doce personas observaron o vieron parte del ataque.

El caso tuvo tanta repercusión que se decidió iniciar una serie de investigaciones psicológicas sobre el efecto espectador. Hay otros factores que forman parte de este efecto: el reparto de la responsabilidad entre muchas personas; también el hecho de que nos guiamos por lo que hace el resto para actuar; pero la explicación más común de este efecto es precisamente el fenómeno que observamos con la chica rubia en el bar de Una mente maravillosa. Con mucha gente, es fácil pensar que otro actuará, por lo que mi acción no será necesaria. Y al final, cuantos más seamos, más podemos correr el riesgo de ser asesinados, tener un ascensor estropeado o quedarnos sin ligar una noche de fiesta.

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4 comentarios

  1. Belem Trompet on

    Que bueno, la primera vez que lo leí me gustó, pero esta segunda mucho mas. Sin conocer a fondo el equilibrio de Jonh Nash, me parecía demasiado simplista lo que se expone en la escena. Una mente maravillosa es una gran peli, que aunque no sea verídica por completo, deja abiertos muchos temas sobre los que cavilar ampliamente.

  2. Increible este post. Muy bueno y didáctico, siempre busqué la forma de profundizar en esa escena de Nash, sabiendo que era incorrecta esa solución que se propone.

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